[기초통계학] 확률의 non-naïve한 정의의 공리, 확률의 특성, 포함배제의 원리

Non-naïve definition of probability

• 모든 경우의 확률이 각각 다른 경우
• 확률공간(Probability space) : S와 P로 구성
  • S : 표본공간 (어떤 사건 A는 S의 부분집합)
  • P : 함수 (어떤 사건 A를 입력으로 하는 함수)
• 공리
  • 아래 세 가지 공리로부터 대부분의 식을 유도할 수 있음
  1. 공집합에 대한 확률은 0이다 (불가능하기 때문에)
     • $P(S) = 1P(ϕ)=0$
  2. 전체 표본 공간의 확률(적어도 사건 A가 발생할 확률)은 1이다.
     • P(S)=1
  3. 합사건의 확률은 모든 확률의 합과 같다. (A1, A2.... 가 모두 서로소 일 경우만)
     • $P(\bigcup_{n=1} ^\infty A_n) = \displaystyle\sum_{n=1} ^\infty P(A_n)$
     • $A_i, A_j는 서로소이다$

Birthday Problem

• k명 중에 2명 이상이 같은 생일을 가질 확률 (일별 출생 확률은 동일하고 각각의 사건은 독립적으로 발생한다고 가정)
• EX) k가 몇 명 이상이어야 같은 생일을 가진 사람들이 있을 확률이 50%일까?
  • k> 365 인 경우, P(A) = 1 (1년은 365일이기 때문에, k가 365가 넘어가면 무조건 같은 생일인 사람이 생긴다.)
  • k ≤ 365 인 경우, P(k명의 생일이 모두 다름) = $\Large\frac{365 \times 364 \times ... \times (365-k+1)}{365^k}$
    • 여사건의 개념으로 접근
  • k = 23일 때 50.7%, k = 50명일 때 97%, k=100명일 때 99.999%
  • 직관적으로 푸는 방법
    • $\Large {23\choose2}$=253 개의 '짝'이 나옴, 365에 상당히 근접한 값임

확률의 특징

• $P(A^C) = 1-P(A)$
  • 증명)
    $1 = P(S) = P(A \cup A^C)= P(A) + P(A^C)$ ...(공리3)
    $P(A\cap A^C) = ϕ$ ...(공리1)
• $A \subset B 인 경우, P(A)≤P(B)$
  • 증명)
    $B = A \cup (B \cap A^C)$ (두 사건은 서로소)
    $P(B) = P(A) + P(B \cup A^C) ≥P(A)$
• $P(A \cup B ) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
  • 증명)
    $P(A \cup B) = P(A \cup (B \cap A^C))$
    = $P(A) + P(B \cap A^C)$
  • 이 때, $P(B) -P(A \cap B) = P(B \cap A^C)$ 인 경우 등식 성립
    $ P(A \cap B) + P(B \cap A^C) = P(B)$...(공리3) 이므로 성립.

포함배제의 원리(Inclusion-exclusion Principle)

• 공식: $\Large P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = \displaystyle \sum _{j=1} ^n P(A_j) - \displaystyle \sum _{i < j} P(A_i \cap A_j) + \displaystyle \sum _{i < j < k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - ... +(-1)^n P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n)$
• 각 사건을 모두 더하고, 두집합들의 교집합들을 빼고, 세집합들의 교집합을 더하고... 마지막은 모든 집합의 교집합을 더해주거나 빼는 식으로 진행된다.
• 예제) deMontmort's Problem(드 몽모르트의 문제/매칭 문제)(1713)
  • 카드가 놓인 위치(첫번째, 두번째, …)와 카드에 쓰여있는 숫자가 일치할 확률은 얼마인가?
  • 무작위로 섞여 있는 카드 1, 2, ... n 중에서, 카드 j가 j번째 순서에 놓이는 사건을 $A_j$라고 할 때,
    • $P(A_j) \large = \frac{1}{n}$ -> n가지
    • $P(A_1 \cap A_2) \large =\frac{(n-2)!}{n!} = \frac {1}{n(n-1)}$ -> ${n\choose2} = \frac {n(n-1)}{2}$ 가지
    • $P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_k) \large = \frac {(n-k)!}{n!}$
    • 그러므로 구하고자 하는 확률인 $P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n)$는$ \large = n \times \frac {1}{n} - \frac{n(n-1)}{2!} \times \frac{1}{n(n-1)} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\times \frac{1}{n(n-1)(n-2)} - ...$$ \large \approx 1 - \frac{1}{e}$
      에 근사한다.
    • $ \large = 1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - ... + (-1)^n\frac{1}{n!} $(테일러 시리즈)
    • $ = P(A_1)+ P(A_2) +...+P(A_n) - P(A_1\cup A_2) - ... + P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) +....$

드모르간 법칙