[기초통계학] 확률의 non-naïve한 정의의 공리, 확률의 특성, 포함배제의 원리

Non-naïve definition of probability

• 모든 경우의 확률이 각각 다른 경우
• 확률공간(Probability space) : S와 P로 구성
  • S : 표본공간 (어떤 사건 A는 S의 부분집합)
  • P : 함수 (어떤 사건 A를 입력으로 하는 함수)
• 공리
  • 아래 세 가지 공리로부터 대부분의 식을 유도할 수 있음
  1. 공집합에 대한 확률은 0이다 (불가능하기 때문에)
     • $P(S)=1P(\varphi )=0$
  2. 전체 표본 공간의 확률(적어도 사건 A가 발생할 확률)은 1이다.
     • P(S)=1
  3. 합사건의 확률은 모든 확률의 합과 같다. (A1, A2.... 가 모두 서로소 일 경우만)
     • $P(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_n)}$
     • $A_i,A_j는서로소이다$

Birthday Problem

• k명 중에 2명 이상이 같은 생일을 가질 확률 (일별 출생 확률은 동일하고 각각의 사건은 독립적으로 발생한다고 가정)
• EX) k가 몇 명 이상이어야 같은 생일을 가진 사람들이 있을 확률이 50%일까?
  • k> 365 인 경우, P(A) = 1 (1년은 365일이기 때문에, k가 365가 넘어가면 무조건 같은 생일인 사람이 생긴다.)
  • k ≤ 365 인 경우, P(k명의 생일이 모두 다름) = $\frac{365\times 364\times ...\times (365-k+1)}{{365}^k}$
    • 여사건의 개념으로 접근
  • k = 23일 때 50.7%, k = 50명일 때 97%, k=100명일 때 99.999%
  • 직관적으로 푸는 방법
    • $(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2})$=253 개의 '짝'이 나옴, 365에 상당히 근접한 값임

확률의 특징

• $P(A^C)=1-P(A)$
  • 증명)
    $1=P(S)=P(A\cup A^C)=P(A)+P(A^C)$ ...(공리3)
    $P(A\cap A^C)=\varphi$ ...(공리1)
• $A\subset B인경우,P(A)\le P(B)$
  • 증명)
    $B=A\cup (B\cap A^C)$ (두 사건은 서로소)
    $P(B)=P(A)+P(B\cup A^C)\ge P(A)$
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
  • 증명)
    $P(A\cup B)=P(A\cup (B\cap A^C))$
    = $P(A)+P(B\cap A^C)$
  • 이 때, $P(B)-P(A\cap B)=P(B\cap A^C)$ 인 경우 등식 성립
    $P(A\cap B)+P(B\cap A^C)=P(B)$...(공리3) 이므로 성립.

포함배제의 원리(Inclusion-exclusion Principle)

• 공식: $P(A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n)={\displaystyle \sum _{j=1}^{n}P(A_j)-{\displaystyle \sum _{i<j}P(A_i\cap A_j)+{\displaystyle \sum _{i<j<k}P(A_i\cap A_j\cap A_k)-...+(-1{)}^{n}P(A_1\cap A_2\cap ...\cap A_n)}}}$
• 각 사건을 모두 더하고, 두집합들의 교집합들을 빼고, 세집합들의 교집합을 더하고... 마지막은 모든 집합의 교집합을 더해주거나 빼는 식으로 진행된다.
• 예제) deMontmort's Problem(드 몽모르트의 문제/매칭 문제)(1713)
  • 카드가 놓인 위치(첫번째, 두번째, …)와 카드에 쓰여있는 숫자가 일치할 확률은 얼마인가?
  • 무작위로 섞여 있는 카드 1, 2, ... n 중에서, 카드 j가 j번째 순서에 놓이는 사건을 $A_j$라고 할 때,
    • $P(A_j)=\frac{1}{n}$ -> n가지
    • $P(A_1\cap A_2)=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)}$ -> $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})=\frac{n(n-1)}{2}$ 가지
    • $P(A_1\cap A_2\cap ...\cap A_k)=\frac{(n-k)!}{n!}$
    • 그러므로 구하고자 하는 확률인 $P(A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n)$는$=n\times \frac{1}{n}-\frac{n(n-1)}{2!}\times \frac{1}{n(n-1)}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\times \frac{1}{n(n-1)(n-2)}-...$$\approx 1-\frac{1}{e}$
      에 근사한다.
    • $=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-...+(-1{)}^n\frac{1}{n!}$(테일러 시리즈)
    • $=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)-P(A_1\cup A_2)-...+P(A_1\cup A_2\cup A_3)+....$

드모르간 법칙