[기초통계학] 지수분포(지수분포의 기댓값과 분산,지수분포의 무기억성)

지수분포(Exponential Distribution)

• $Expo(\lambda )$
• 연속확률분포의 일종
• 지수분포는 첫사건이 발생하는 데 걸리는 시간분포
• 사건이 서로 독립적일 때, 일정 시간 동안 발생하는 사건의 횟수가 푸아송 분포를 따른다면, 다음 사건이 일어날 때까지 대기 시간은 지수분포를 따름
• 모수 λ (rate parameter(비율 모수)- 속도를 나타내는 모수)

1. 지수분포의 확률밀도함수 정의

• $PDF:f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x>0(0otherwise)$
  • 조건 확인: ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda e^{-\lambda x}dx=1}$
  • e는 자연상수를 의미

2. 지수분포의 누적분포함수

• λ는 평균속도이므로, $\frac{1}{\lambda }$ 시간 간격으로 일어나는 사건이 x시간 안에 일어날 확률은 누적분포함수로 표현
• CDF: $F(x)={\displaystyle {\int }_0^x\lambda e^{-\lambda t}dt=1-e^{-\lambda x},x>0}$

3. 사건이 x시간 이후에 일어날 확률인 경우

기댓값과 분산

$Y=\lambda X일때,Y\sim Expo(1)$이다.

proof) Y의 CDF: $P(Y\le y)=P(X\le {\displaystyle \frac{y}{\lambda })=1-e^{-y}P(Y\le y)}$

$\therefore Y\sim Expo(1)$

$E(Y)={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}y{e}^{-y}dy}$

$u=y,dv=e^{-y}dy,du=dy,v=-e^{-y}$

= $[(-y{e}^{-y}){]}_0^{\mathrm{\infty }}+{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-y}dy=1}$

$Var(Y)=E(Y^2)-{E(Y)}^2={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^2{e}^{-y}dy-1=}$

$X=\frac{Y}{\lambda }\to E(X)=\frac{1}{\lambda }$

$Var(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$

지수분포의 특징

• 기하분포로부터 파생된 분포
  • 기하분포는 사건이 발생하기까지의 시도 횟수를 모델링하는 분포이며, 지수분포는 사건이 발생하기까지의 시간을 모델링함
• 지수분포는 무기억성분포
  • 즉, 이전 사건이 발생한 시간과 관계없이 다음 사건이 발생하는 시간 간격은 독립적으로 분포

지수분포의 무기억성(memoryless property)

• 조건부확률을 이용해서 확인
• $P(X\ge s+t|X\ge s)=P(X\ge t)$
  • s의 경우 큰 의미가 없음 (s초만큼 지났다고 하더라도 t초를 더 기다리는 확률은 이미 기다린 s초와는 상관이 없다는 뜻)

proof) $P(X\ge s)=1-P(X\le s)=e^{-\lambda s}$ ⋯ (생존함수)

$P(X\ge s+t|X\ge s)={\displaystyle \frac{P(X\ge s+t,X\ge s)}{P(X\ge s)}}$
- 분자의 $P(X\ge s)$는 의미가 없음. s와 t가 음수가 아닌 실수라면 당연히 s보다 s+t가 크기 때문

$=\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X\ge t)=P(X\ge t)$

연속확률분포에서 무기억성이 있는 분포는 지수분포만 있는 이유

• 이산확률분포는 기하분포, 연속확률분포는 지수분포에서만 적용됨.
• 연속확률변수 X가 무기억성이 있으면 $X\sim Expo(\lambda )$

proof) X의 CDF $F\to G(x)=P(X\ge x)=1-F(x)$라 할 때,

$G(s+t)=G(s)G(t)G(s+t)=G(s)G(t)$ ⋯ 무기억성

s=t라 하였을 때
$G(2t)=G(t{)}^2$
$G(3t)=G(2t)G(t)=G(t{)}^3$

⋯

$G(kt)=G(t{)}^k$ (k는 양의 정수)

$G(\frac{t}{2})=\sqrt{G(t)}$

$G(\frac{t}{3})=G(t{)}^{1/3}$
​​

$G(\frac{t}{k})=G(t{)}^{1/k}$

$G(\frac{mt}{n})=G(t{)}^{m/n}$

$\Rightarrow G(xt)=G(t{)}^x$
​​ for all real x>0

$t=1일때,G(x)=G(1{)}^x=e^{xlnG(1)}=e^{-\lambda x}$
​​ → 1- 지수분포의 CDF

조건부 기댓값(conditional expectation)

$E(X|X>a)=a+E(X-a|X>a)$
⋯(X−a는 a만큼 기다린 후 남은 대기시간. 무기억성에 의해 새로운 지수분포가 된다)

$=a+{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$