[기초통계학] Gambler's Ruin(도박꾼의 파산)

Gambler's Ruin(도박꾼의 파산)

• A와 B 두 명의 도박꾼이 매 라운드 $1씩 걸고 도박을 한다.
• 이긴 사람은 상대방의 $1을 가져가고, 둘 중 한 명이 가지고 온 돈이 바닥날 때까지 이 과정을 반복한다.
  • $p = P(A가 어떤 라운드를 이긴다)$
  • $q = 1-p$

A는 i 달러, B는 N-i 달러를 가지고 게임을 한다고 할 때,

p의 확률로 A가 1달러를 더 얻고, q의 확률로 1달러를 잃는다.
0, N은 흡수상태(absorbing state)라 하여, 게임 종료를 나타낸다.

$p_i$​​ : A가 i 달러로 시작하여 게임을 이길 확률
$p_i = p \cdot p_{i+1}+q \cdot p_{i-1} ( 1 \le i \le N-1) 이고$
$ p_0 = 0 (A가 파산한 상태에서 시작하는 경우),p_{N} = 1 (B가 파산한 상태에서 시작하는 경우)$

이를 계차방정식(difference equation)이라고 한다(차분방정식이라고도 불림).(미분방정식의 이산 형태)

guessing을 통한 풀이

$ p_i = x^i$라고 하자.
$x^i = p \cdot x^{i+1} +q \cdot x^{i-1}$
$px^2 - x +q = 0 (x^{i-1}로 식을 나눔)$
$x = \large {\frac{-1 \pm \sqrt{1-4pq}}{2p}}$
이고, q = 1-p 이기 때문에, $1-4pq = 1-4p(1-p) = 4p^2-4p+1 = (2p-1)^2$이 성립한다.
즉 $x= \frac{(2p-1) + 1}{2p}$ 이거나, $x= \frac{(2p-1) - 1}{2p}$ 이기에
$x \in {1, \large\frac{q}{p} }$ 이다
→ 두 해가 다른 경우 다음과 같이 선형인 식으로 표현한다.

$p_i = A\cdot 1^i + B \cdot (\large\frac{q}{p})^i (p \ne q)$

여기에 조건 $p_0 = 0, p_{N} = 1$을 대입하면,
$p_0 = A+B = 0 \rightarrow B=-A$
$p_N = A +B \large(\frac{q}{p})^N = A(1-\large(\frac{q}{p})^N) = 1$
$A = \Large \frac{1}{1-(\frac{q}{p})^N}$
$p_i = \Large{\frac{1-(\frac{q}{p})^i}{1-(\frac{q}{p})^{N-i}}} (p \ne q)$

만약 p = q 인 경우,
$x = \large\frac{q}{p}$ 라고 놓고 $x \rightarrow 1$ 의 극한을 살펴보았을 때,
$\lim_{x \rightarrow 1} = \lim_{x \rightarrow 1}\large\frac{1-x^i}{1-x^N} = \lim_{x \rightarrow 1} \large \frac{i(x^{i-1})}{N(x^{N-1})} = \large \frac{i}{N} = \Rightarrow p_i$ (로피탈의 정리)
​
​$​= \Large{\frac{1-(\frac{q}{p})^i}{1-(\frac{q}{p})^{N-i}}} (p \ne q) or \large \frac {i}{N} (p = q)$

만약 i = N-i (같은 돈을 가지고 시작하는 경우) => p = 0.49 (A가 B보다 1% 이길확률이 적은 경우)
A가 모든 돈을 딸 확률

• N = 20 => 0.4
• N = 100 => 0.12
• N = 200 => 0.02

하우스와 같은 돈을 가지고 시작하고, 1%정도로만 불공평한 게임이라고 해도 게임을 계속하다 보면 이길 확률이 매우 적어지게 된다. ('도박꾼의 파산')

CF) 게임이 공평한 상황은? (p = q)
B가 (N-i 달러를 갖고) 이길 확률은 $\large \frac {N-i}{N}$이다.
$\large \frac{i}{N} + \frac{N-i}{N} =1$ 이므로 게임이 계속될 확률은 0이다.

만약 여기서 A가 자본이 많으면 많을 수록 파산할 확률이 적어지고, B가 자본이 많으면 많을수록 파산할 확률이 적어진다.

아무리 공평한 게임이더라도, 보통 카지노 측이 카지노 이용자보다 자본이 많으니 카지노 이용자가 파산한다.

 

즉 도박군의 파산이란 유한한 초기 자산을 가지고 도박을 하는 도박꾼은 결국에는 파산하게 된다는 통계학적 개념이다.