Statistics & Math/기초통계학

[기초통계학] 누적분포함수(Cumulative Distribution Function)

YSY^ 2023. 12. 17. 22:01

누적분포함수(CDF)

  • 주어진 확률변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내는 함수 (분포를 설명하는 방식)
  • '누적'이라는 이름은 특정 값보다 작은 값들의 확률을 모두 누적해서 구한다는 의미에서 붙여진 이름
  • '누적분포'함수 이기 때문에 확률변수에 대응하는 모든 확률의 합은 1이 되어야 한다.
  • Xx이라는 사건 → 확률을 구할 수 있음
    cf) X = 7 -> 사건을 의미
  • F(X)=P(Xx) 이때 F를 누적분포함수라고 지칭

이산확률분포인 경우

  • 누적분포함수는 각 확률 질량 함수 값들을 누적하여 계산
  • 즉, 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같을 확률을 해당 값 이하의 모든 확률질량함수 값의 합으로 계산
  • F(x)=P(Xx)=ixP(X=i)
    [기초통계학] 누적분포함수(Cumulative Distribution Function) 0
    이산확률변수의 누적분포함수

연속확률분포인 경우

  • 누적분포함수는 확률 밀도 함수(Probability Density Function, PDF)의 면적을 통해 계산
  • 즉, 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같을 확률은 해당 값까지의 확률밀도함수의 면적으로 표현
  • F(x)=P(Xx)=xf(t)dt
    -> ddxF(x)=f(x)

[기초통계학] 누적분포함수(Cumulative Distribution Function) 1

EX) CDF를 이용하여 P(1x3) 구하기P(1<X3)=F(3)F(1)

  • P(aXb)=F(b)F(a)
  • P(X3)=P(X1)+P(1<X3)

CDF의 특성 (필요충분조건)

  1. 증가함수
  2. 우연속함수 (오른쪽에서 접근하면 연속적임)
  3. F(X)→0 as X→−∞, F(X)→1 as X→∞
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