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[수학 리부트] 함수의 기초

YSY^ 2023. 7. 19. 20:18

함수

  • 함수 : 입력값의 집합과 출력값의 집합간에 맺어지는 일대일 관계
  • 특정값 a가 입력되었을 때 대응되는 출력은 f(a)로 쓰고, 이것을 입력 a에 대한 함숫값이라고 부른다.
  • 정의역 : 함수 f : X -> Y에서 입력값이 정의된 집합 X
  • 공역(공변역) : 출력값이 속하도록 되어있는 집합 Y
  • 치역 : 공역 안에서 정의역에 실제로 대응되는 값, 함수값이 이루는 집합

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  • 전사함수 : 공역 = 치역 인경우, 즉 공역 내의 모든 원소가 전부 빠짐없이 대응
  • 단사함수 : 치역의 원소 하나에 둘 이상의 정의역 원소가 대응되는 일이 없는 경우
  • 전단사함수 : 전사이면서 단사인 경우, 일대일대응이라고 함.
  • 비둘기집 원리 : 정의역보다 공역의 원소 개수가 작을 때 그 함수는 단사일 수 없다.

[수학 리부트] 함수의 기초 1
http://contents.kocw.net/document/diff%20and%20int%20%281%29.pdf

 

 

일차함수와 그래프

  • 일차함수 : 종속변수 y가 독립변수 x에 대한 일차식 y = ax + b 꼴로 나타낸것
  • 기울기 : 세로축 변화량 / 가로축 변화량
  • 절편 : 직선이 축과 만나는 점 (x축과 만나면 x절편, y축과 만나면 y절편)
  • 함수의 평행이동 : f(x)의 그래프를 가로축 방향으로 k만큼 이동한 그래프 g(x)는 f(x-k)와 같다.
    • 가로축 방향으로 p만큼 이동 : x를 x-p로 대체
    • 세로축 방향으로 q만큼 이동 : y값에 최종적으로 q를 더함

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함수의 평행이동 https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=niiceha3&logNo=220725531484

연립 방정식과 함수

  • 연립방정식을 푼다는 것은 두 식을 동시에 만족시키는 x와 y를 찾는 일
  • 이것을 직선의 관점으로 본다면 직선 두개가 만나는 점의 좌표를 찾는 것과 같음.

[수학 리부트] 함수의 기초 3
https://mathbang.net/55#gsc.tab=0

  • 기울기(a) : 좌표값의 차를 이용해서 기울기를 구함

[수학 리부트] 함수의 기초 4

 

이차함수와 그래프

  • 다항함수 : 다항식으로 나타낼 수 있는 함수

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이차함수

  • a (2차항의 계수)가 커지면서 그래프는 더 가파르게 세로축에 가까워지는 모양이 되며 뾰족해진다.

[수학 리부트] 함수의 기초 6
https://mathbang.net/59#gsc.tab=0

  • 이차함수의 평행이동
    • 가로축 방향으로 p만큼 이동 : x를 x-p로 대체
    • 세로축 방향으로 q만큼 이동 : y값에 최종적으로 q를 더함

 

이차함수 기본형과 표준형

[수학 리부트] 함수의 기초 7
이차함수의 기본형

이차 함수의 기본형은 꼭지점의 좌표(p,q)를 알기가 힘들기에 보통 아래의 표준형을 많이 활용한다.

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이차함수의 표준형

이차함수의 기본형을 표준형으로 바꾸는 방법은 아래와 같다.

[수학 리부트] 함수의 기초 9
https://ladyang86.tistory.com/41

표준형의 특징

평행이동의 결과이므로 그래프모양은 y=ax^2와 같다. 즉, 이차항의 계수 a가 같으면 그래프 모양은 모두 같다

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꼭지점의 좌표와 축의 방정식. 꼭지점의 좌표에서 판별식 D가 관찰된다.

판별식(D)의 부호와 y좌표와의 관계

[수학 리부트] 함수의 기초 11
https://jwmath.tistory.com/398

 

유리함수와 무리함수

  • 유리식 : 두 다항식의 분수꼴로 나타낼 수 있는 수식
  • 유리함수 : 유리식으로 표현되는 함수
  • 반비례 : y = a(상수) / x

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y = 1/x의 유리함ㅅ

  • 쌍곡선 : 두 개의 초점에서 임의의 점 P까지 선을 연결했을 때 두 선의 길이의 차가 일정한 성질을 가지고 있는 곡선. 즉, 평면상의 고정된 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합.
  • 곡선은 x축과 y축에 가까워지는데, 축과는 만나지 않는다.
  • 점근선 : x축과 y축 처럼 어떤 그래프가 한없이 가까워지는 직선

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각도에 따른 1/x 회전. 출처 : https://hashmm.com/post/lumania01/index.html

유리함수의 평행이동

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https://blog.naver.com/honeyeah/110151735046

 

  • 무리함수 : 근호 안에 독립변수가 포함된 무리식으로 나타나는 함수

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무리함수의 기본 식 (a는 0이 아닌 조건)

  • 근호 안은 음수가 될 수 없기에 a가 양수일때는 x도 0이상이며, a가 음수일때는 x도 음수이다.

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a의 부호와 근호의 부호에 따른 무리함수. https://www.geogebra.org/m/aaqmkbw2

 

무리함수의 평행이동

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합성함수와 역함수

  • 합성함수 : 한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이며 (g ∘ f)(x) (=g(f(x)) 처럼 쓴다.
  • 이때 ∘기호의 오른쪽, 즉 입력값에 가까운 쪽의 함수가 먼저 대응된다.

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  • 합성함수의 교환법칙과 결합법칙 :  교환법칙은 성립하지 않지만, 결합법칙은 성립함

[수학 리부트] 함수의 기초 19

 

  • 역함수 : 어떤 함수가 전단사함수(일대일 대응)이면 역방향의 대응관계도 여전히 함수의 조건을 충족하는데, 이것을 원래함수의 역함수라고 칭한다.
    • 이때 원래 함수의 정의역이 공역으로 바뀌고, 원래의 공역은 정의역이 되며, 독립변수와 종속변수도 서로 역할을 바꾸게 된다.
    • 하지만 독립변수와 종속변수의 값이 같아지는 점들 y = x인 직선위의 점들은 원래 자기를 지키게 되는데, 역함수를 만들때 좌표평면 위에 있던 모든 점은 이 불변하는 직선을 축으로 하여 대칭인 위치로 이동한다. 즉 어떤 함수와 그 역함수의 그래프는 y=x에 대해 대칭이다.

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  • 역함수의 성질

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(1) 역함수의 역함수는 자기자신이다.

(2) 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 자기자신, 항등함수가 나온다. -> 역함수의 경우 특별히 교환법칙이 성립된다.

(3) 합성함수의 역함수는 순서가 반대로 된다.

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출처

  • 해당 포스팅은 [수학리부트] 책을 참고하여 작성되었습니다.
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