[수학 리부트] 함수의 기초

함수

• 함수 : 입력값의 집합과 출력값의 집합간에 맺어지는 일대일 관계
• 특정값 a가 입력되었을 때 대응되는 출력은 f(a)로 쓰고, 이것을 입력 a에 대한 함숫값이라고 부른다.
• 정의역 : 함수 f : X -> Y에서 입력값이 정의된 집합 X
• 공역(공변역) : 출력값이 속하도록 되어있는 집합 Y
• 치역 : 공역 안에서 정의역에 실제로 대응되는 값, 함수값이 이루는 집합

• 전사함수 : 공역 = 치역 인경우, 즉 공역 내의 모든 원소가 전부 빠짐없이 대응
• 단사함수 : 치역의 원소 하나에 둘 이상의 정의역 원소가 대응되는 일이 없는 경우
• 전단사함수 : 전사이면서 단사인 경우, 일대일대응이라고 함.
• 비둘기집 원리 : 정의역보다 공역의 원소 개수가 작을 때 그 함수는 단사일 수 없다.

http://contents.kocw.net/document/diff%20and%20int%20%281%29.pdf

 

 

일차함수와 그래프

• 일차함수 : 종속변수 y가 독립변수 x에 대한 일차식 y = ax + b 꼴로 나타낸것
• 기울기 : 세로축 변화량 / 가로축 변화량
• 절편 : 직선이 축과 만나는 점 (x축과 만나면 x절편, y축과 만나면 y절편)
• 함수의 평행이동 : f(x)의 그래프를 가로축 방향으로 k만큼 이동한 그래프 g(x)는 f(x-k)와 같다.
  • 가로축 방향으로 p만큼 이동 : x를 x-p로 대체
  • 세로축 방향으로 q만큼 이동 : y값에 최종적으로 q를 더함

함수의 평행이동 https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=niiceha3&logNo=220725531484

연립 방정식과 함수

• 연립방정식을 푼다는 것은 두 식을 동시에 만족시키는 x와 y를 찾는 일
• 이것을 직선의 관점으로 본다면 직선 두개가 만나는 점의 좌표를 찾는 것과 같음.

https://mathbang.net/55#gsc.tab=0

• 기울기(a) : 좌표값의 차를 이용해서 기울기를 구함

 

이차함수와 그래프

• 다항함수 : 다항식으로 나타낼 수 있는 함수

이차함수

• a (2차항의 계수)가 커지면서 그래프는 더 가파르게 세로축에 가까워지는 모양이 되며 뾰족해진다.

https://mathbang.net/59#gsc.tab=0

• 이차함수의 평행이동
  • 가로축 방향으로 p만큼 이동 : x를 x-p로 대체
  • 세로축 방향으로 q만큼 이동 : y값에 최종적으로 q를 더함

 

이차함수 기본형과 표준형

이차함수의 기본형

이차 함수의 기본형은 꼭지점의 좌표(p,q)를 알기가 힘들기에 보통 아래의 표준형을 많이 활용한다.

이차함수의 표준형

이차함수의 기본형을 표준형으로 바꾸는 방법은 아래와 같다.

https://ladyang86.tistory.com/41

표준형의 특징

평행이동의 결과이므로 그래프모양은 y=ax^2와 같다. 즉, 이차항의 계수 a가 같으면 그래프 모양은 모두 같다

꼭지점의 좌표와 축의 방정식. 꼭지점의 좌표에서 판별식 D가 관찰된다.

판별식(D)의 부호와 y좌표와의 관계

https://jwmath.tistory.com/398

 

유리함수와 무리함수

• 유리식 : 두 다항식의 분수꼴로 나타낼 수 있는 수식
• 유리함수 : 유리식으로 표현되는 함수
• 반비례 : y = a(상수) / x

y = 1/x의 유리함ㅅ

• 쌍곡선 : 두 개의 초점에서 임의의 점 P까지 선을 연결했을 때 두 선의 길이의 차가 일정한 성질을 가지고 있는 곡선. 즉, 평면상의 고정된 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합.
• 곡선은 x축과 y축에 가까워지는데, 축과는 만나지 않는다.
• 점근선 : x축과 y축 처럼 어떤 그래프가 한없이 가까워지는 직선

각도에 따른 1/x 회전. 출처 : https://hashmm.com/post/lumania01/index.html

유리함수의 평행이동

https://blog.naver.com/honeyeah/110151735046

 

• 무리함수 : 근호 안에 독립변수가 포함된 무리식으로 나타나는 함수

무리함수의 기본 식 (a는 0이 아닌 조건)

• 근호 안은 음수가 될 수 없기에 a가 양수일때는 x도 0이상이며, a가 음수일때는 x도 음수이다.

a의 부호와 근호의 부호에 따른 무리함수. https://www.geogebra.org/m/aaqmkbw2

 

무리함수의 평행이동

 

합성함수와 역함수

• 합성함수 : 한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이며 (g ∘ f)(x) (=g(f(x)) 처럼 쓴다.
• 이때 ∘기호의 오른쪽, 즉 입력값에 가까운 쪽의 함수가 먼저 대응된다.

• 합성함수의 교환법칙과 결합법칙 :  교환법칙은 성립하지 않지만, 결합법칙은 성립함

 

• 역함수 : 어떤 함수가 전단사함수(일대일 대응)이면 역방향의 대응관계도 여전히 함수의 조건을 충족하는데, 이것을 원래함수의 역함수라고 칭한다.
  • 이때 원래 함수의 정의역이 공역으로 바뀌고, 원래의 공역은 정의역이 되며, 독립변수와 종속변수도 서로 역할을 바꾸게 된다.
  • 하지만 독립변수와 종속변수의 값이 같아지는 점들 y = x인 직선위의 점들은 원래 자기를 지키게 되는데, 역함수를 만들때 좌표평면 위에 있던 모든 점은 이 불변하는 직선을 축으로 하여 대칭인 위치로 이동한다. 즉 어떤 함수와 그 역함수의 그래프는 y=x에 대해 대칭이다.

• 역함수의 성질

(1) 역함수의 역함수는 자기자신이다.

(2) 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 자기자신, 항등함수가 나온다. -> 역함수의 경우 특별히 교환법칙이 성립된다.

(3) 합성함수의 역함수는 순서가 반대로 된다.

출처

• 해당 포스팅은 [수학리부트] 책을 참고하여 작성되었습니다.