[수학 리부트] 도형의 기초 (선, 각, 삼각형)

선과 각

• 직선 : 어떤 두 점을 지나면서 양 끝으로 무한히 곧게 뻗어가는 선
• 반직선 : 두 점을 지나는 곧은 선이면서도 한쪽으로만 뻐어가는 경우. 시작점과 방향이 있으며 아래와 같이 쓴다

• 선분 : 두 점을 지나는 곧은 선이지만 두점 사이를 잇는 선
• 중점 : 선분에서 길이를 이등분하는 점

 

• 각 : 곧은 선 두개가 만났을 때 선 하나가 상대방에 대해 벌어진 정도, 각의 단위는 도(degree)를 주로 사용
  
  • 평각 : 각을 이루는 두 직선이 완전히 반대 방향 (180도)
  • 직각 : 평각의 절반 크기 (90도)
  • 예각 : 직각보다 작은 각
  • 둔각 : 직각보다 크고 평각보다 작은 각
  • 맞꼭지각 : 두직선이 만날 때 한쪽만 각이 생기는 것이 아니라 정반대에도 생기는  한 쌍의 각
• 직교 : 두 직선이 만났는데 맞꼭지각이 90도인 경우
• 수선 : 어떤 직선에 수직인 직선
• 수선의 발 : 두 직선이 수직으로 만나는 교점 (직교할때만)

• 수직 이등분선 : 선분을 둘로 나누는 수선
• 동위각 : 같은 쪽에 위치한 한 쌍의 각
  • 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로 같음
  • 동위각의 크기가 서로 같으면 두 직선은 평행

동위각

• 엇각 : 엇갈린 위치에 있는 각
  • 두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같음
  • 엇각의 크기가 서로 같으면 두 직선은 평행함

• 평행 : 아무리 연장해도 결코 서로 만나지 않는 성질
  • 평행선의 경우 ∠a + ∠b = 180도 이다.
  • 또한 평행선에서 동이각과 엇각의 크기는 각각 같다.

 

삼각형

• 변 : 선분 3개의 끝점들이 이어져서 3개의 각을 만들 때 이 선분들을 변이라고 칭함
• 꼭짓점 : 선분들의 끝점을 칭함
• 삼각형의 세 내각의 합은 항상 180도임
• 대변 : 각의 입장에서 서로 마주보고 있는 변
• 대각 : 변의 입장에서 서로 마주보고 있는 각
• 삼각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않은 다른 두 내각 크기의 합과 같다.
• 삼각형의 조건 : 삼각형에서는 어느 두변의 길이를 더해도 다른 한 변의 길이보다 길다.
• 합동 : 두 도형을 포개어 모든 꼭지점, 변,각이 완전히 겹치게 하는 것.
  • SSS합동 : 세 변의 길이에 의해 합동이 되는 조건
  • SAS합동 : 하나의 각과 그 각을 낀 두 변의 길이까지 정해진 경우 합동이 되는 조건
  • ASA합동 : 두 각의 크기와 그 사이에 낀 한 변의 길이가 정해진 경우 합동이 되는 조건
  • 참고로 변의 길이에는 제약이 없고 모든 각의 크기만 정해진 경우 변의 길이가 다른 삼각형을 무한정 만들어내기에 합동 조건이 안된다.

• 이등변 삼각형 : 두 변의 길이가 같은 부류
  • 꼭지각 : 그 두변 사이에 낀 각
  • 밑변 : 꼭지각의 대변
  • 이등변 삼각형의 성질 :  두 밑각의 크기가 같으며, 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
    • 또한, 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변 삼각형이다.

• 직각 삼각형
  • 직각(H) : 90도인 각
  • 빗변(H) : 직각의 대변인 변
  • 직각 삼각형의 합동 : 합동 조건은 직각(R)과 빗변(H)의 약자를 따서 RH로 시작한다.
    • RHA 합동 : 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
    • RHS  합동 : 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

 

도형의 닮음

• 닮음 관계 : 한 도형을 적절한 비율로 확대 또는 축소해서 다른 도형과 합동이 되게 하는 경우
• 닮은비 : 닮은 다각형 끼르는 대응되는 변의 비율이 같은데 이 비율을 의미
• 두 삼각형이 닮음이 되기 위한 조건
  • SSS : 세변의 길이의 비가 모두 같으면 조건 충족
  • SAS : 도변이 길이의 비가 같고 그 사이에 낀 각의 크기가 같으면 동일 비율을 가짐
  • ASA : 변을 지외하고도 두 각 (즉 세각)이 같다는 것만으로도 삼각형은 닮은 꼴이 됨, 이를 AA닮음 조건으로 부름

 

직각삼각형의 닮음 꼴

1) 번공식의 원리

2) 번공식의 원리

3) 번공식의 원리

중점연결정리

• 삼각형의 두 변의 중점을 이은 아래 도형은 SAS 닮음 조건을 만족하며, 이 조건에 따라 아래 관계가 성립된다.
  • 선DE : 선BC = 1 : 2
  • ∠ADE = ∠ADC
  • ∠AED = ∠ACB

SAS 닮은 조건

 

 

• 위 관계를 아래와 같이 정의하며 이를 중점연결정리라고 부른다.
• 삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분은 다른 한변과 평행하며 길이는 절반이다.
• 중선 : 삼각형의 한꼭짓점에서 대변의 중점으로 이은 선분

무게 중심

• 삼각형의 세 중선이 만나는 지점

• 무게중심은 중선을 2:1로 내분한다.
  • 변의 중점 D와 F를 이은 선분은 중점연결정리에 의해 선분 BC와 평행하고, 선분 DF는 선분 BC의 1/2
  • DF와 BC가 평행하므로 엇각 관계에 의해 ∠DFG=∠GBC, ∠FDG=∠GCB
  • 삼각형 DGF와 삼각형 BGC는 AA닮음 삼각형
  • 이에 따라 나머지 변들도 두 삼각형의 닮음비인 2:1을 따른다.

•  무게중심은 삼각형의 넓이를 6등분한다.
  • 삼격형 GBE와 GEC는 높이가 같고 및변 길이도 같으므로 넓이가 같다. 
  • 이와 비슷한 논리로 다른 삼각형들도 넓이가 같음을 알 수 있다.

 

피타고라스의 정리

직각삼각형의 빗변의 제곱은 다른 두변의 제곱의 합과 같다.

증명

출처

• 해당 포스팅은 [수학리부트] 책을 참고하여 작성되었습니다.