[수학 리부트] 도형의 기초 (다각형(사각형), 원과 부채꼴)

다각형

• 다각형 : 여러개의 선분으로 만들어지는 평면 도형
• 대각선 : 꼭짓점끼리 연결된 선분
• 다각형의 성질
  • 꼭지점이 N개인 도형의 대각선 개수는 n(n-3) / 2 이다.
  • k개의 대각선에 의해 이 다각형은 (k+1) 개의 삼각형으로 분할 된다
  • N각형은 (N-3)개의 대각선에 의해 (N-2)개의 삼각형으로 분할 된다
  • 따라서 N각형의 내각의 합은 (N-2) * 180도 이다.
• 다각형의 외각의 합 : 모든 다각형은 외각의 합이 360도 이다.
  • N각형의 내각과 외각의 합을 다 더하면 N*180도 인데 N각형의 내각의 합은 (N-2)*180이므로
  • 외각의 합은 180*N - 180*N + 360 = 360도 이다

 

사각형의 종류와 성질

사다리꼴

• 사각형에서 최소 한 쌍의 마주보는변(대변)이 평행하다는 조건이 주어진 도형
• 사다리꼴의 넓이 공식 : 1/2(윗변 + 밑변) * 높이

평행사변형

• 사다리꼴 중에서 한 쌍이 아니라 두 쌍의 대변이 모두 평행한 사각형
• 평행사변형의 성질

1. 평행사변형에서 마주보는 두 쌍의 대각은 크기가 같다. (이웃한 두각의 합은 180도)

2. 평행사변형에서 마주보는 두 쌍의 대변은 각각 길이가 같다.

3. 평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분한다.

4. 평행사변형에 두 대각선을 그어 생기는 삼각형 4개는 모두 넓이가 같다.

• 삼격형 OAC와 ODC는 합동
• 삼각형 OAC와 삼각형 OAD는 밑변이 같고 높이도 같기에 넓이가 같다.

등변사다리꼴

• 사다리꼴에서 평행한 대변 중 한 변을 낀 양끝 각(밑각)이 같을 경우
• 등변 사다리꼴의 성질

1. 평행하지 않은 한쌍의 대변의 길이가 같다.

• 아래 그림에서 삼각형 CDE는 이등변 삼각형이기에, 선 AB와 선 CD의 길이는 같다.

2. 두 대각선의 길이가 같다.

• 아래 그림에서 삼각형 ABC와 삼각형 DBC는 SAS합동으로 대각선AC와 대각선BD는 길이가 같다.

직사각형

• 평행사변형이면서 두 대각선의 길이가 같은 사각형
• 아래 그림에서 선분AB와 CD가 같고, 선BC는 공통이고, 두변 사이에 낀 각은 모두 직각이기에
• SAS합동 조건으로 삼각형ABC와 DBC가 합동으로 선BD와 AC의 길이는 같다.

마름모

• 평행사변형 중에서 각이 아닌 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
• 마름모의 성질 : 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.
  • 아래 그림에서 삼각형 ABO와 AOD에서 선AB와 AD는 같고, 선BO는 공통이고, 평행사변형의 성질로 선BO와 선DO는 동일하기에, SSS합동이다. 
  • 위 조건에 의해 두 삼각형은 대응되는 각이 같으므로 각각 90도의 각을 가짐을 알 수 있다.

정사각형

• 위 모든 사각형의 조건을 모두 만족하는 사각형
  • 모든 각의 크기가 같다(직각)
  • 모든 변의 길이가 같다
  • 두쌍의 대변이 평행하다
  • 두 대각선의 길이가 같다
  • 두 대각선은 서로를 수직이등분한다.

사각형의 특징 계보도

 

원과 부채꼴

• 원 : 한 점으로부터 같은 거리에 있는 모든 점의 집합
• 중심 : 기준이 되는 한 점
• 반지름 : 중심으로부터의 거리
• 지름 : 반지름의 두 배 길이로 원의 중심을 질러가는 선분
• 원주 : 원의 둘레
• 호 : 원주를 이루는 곡선 중 일부분만 칭할때, 보통 양 끝점의 기호를 따서 '호 AB'로 씀
• 현 : 원주 위의 두 점을 똑바로 잇는 선분
• 부채꼴 : 호의 양끝과 원의 중심을 이은 부채 모양의 도형
• 원주율 : 원주가 지름의 몇배인지의 비율 (기호 π(파이)로 나타냄)
• 중심각과 호의 길이는 정비례

• 원의 넓이 : 사각형의 넓이 구하는 공식 이용
  • ⇨ 원을 한없이 잘게 잘라 붙여서 만든 직사각형의 가로는 원의 원주의 1/2이며, 세로는 원의 반지름 ⇨ (원의 넓이)
  • = (직사각형의 넓이) = (가로)×(세로)=(원주의 1/2 )×(반지름)
  • = (지름)×(원주율)× 1/2 ×(반지름)
  • = (반지름)×(반지름)×(원주율) 
• 부채꼴의 넓이 : 1/2 * 반지름 * 호의 길이 = 1/2 * r * l
• 원과 직선이 만날때
  • 원의 접선 : 원과 직선이 만날때, 직선을 의미
  • 접점 : 만나는 점

출처

• 해당 포스팅은 [수학리부트] 책을 참고하여 작성되었습니다.