[수학 리부트] 거듭제곱근, 로그, 로그함수, 지수함수

거듭제곱근과 지수의 확장

지수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈

거듭제곱근 : n 제곱하여 a가 되는 수를 a의 n제곱근이라 한다.

• a의 제곱근 중 양수인 것을 택하여 루트 기호를 써서 √ a 로 나타낸다.
• a의 n제급근 중 양수인 것, 양수가 없을 때는 음수를 택하여 ⁿ√ a 로 나타낸다.

n이 짝수일 경우

1. a > 0 이면, 그래프와 y = a는 세로축을 중심으로 대칭되는 두곳에서 만남, 즉, 양수의 짝수 번 거듭제곱근은 2개가 존재
2.  a = 0 이면, 그래프와 원점에서 만남
3. a < 0 이면 그래프와 만나지 않음

n이 홀수일 경우

• a의 부호와 상관없이 y = a와 언제나 한점에서 만난다,
• 즉, a의 홀수번 거듭제곱근은 항상 ⁿ√ a만 존재한다

 

정리

	n이 홀수	n 이 짝수
a > 0	ⁿ√ a	+ ⁿ√ a, - ⁿ√ a
a = 0	0	0
a < 0	ⁿ√ a	없음

 

기하평균

• 거듭제곱근을 사용하는 버전의 평균은 모든 값을 곱해서 값의 개수에 해당하는 n제곱근을 구한다.
• 기하평균의 공식은 아래와 같다

• 어떤 숫자들의 기하 평균은 그 숫자들의 산술평균보다 언제나 작고 같으며, 특히 모든 숫자가 같을 경우에 두 평균이 같아진다.
• 곱셈으로 계산하는 값에서의 평균을 계산하고자 할 때 산술 평균이 아닌 기하 평균을 사용한다.

 

유효숫자와 지수 표기법

• 참값 : 길이나 무게 넓이처럼 측정 대상이 가진 원래 값
• 근삿값 : 측정을 통해 얻은 대략의 값
• 오차 : 근삿값이 참값에 얼마나 가까운가 하는 정도
• 절대 오차 : 근삿값 - 참값에 절대값을 취한것
• 오차의 한계 : 절대오차의 최대값
• 유효숫자 : 측정치에서 의미를 가지는 숫자. 예를 들어 측정기기에 최소 눈금이 있을때, 유효숫자는 그 최소 눈금이 있는 자리까지의 숫자
• 과학적 표기법
  • 모든 숫자를 '유효숫자 X 10ⁿ' 의 꼴로 쓴다
  • 단, 유효숫자는 소수점 위 일의 자리에 0이 아닌 숫자 하나만 나타나게 한다. (ex. 4200에서 유효숫자가 4와 2라면 4.2*10³ )
  • 컴퓨터에서는 1.23E+5나 1.32e-03. 처럼 표시
• 부동 소수점 방식(floating point)
  • 실수를 컴퓨터상에서 근사하여 표현할 때 소수점의 위치를 고정하지 않고 그 위치를 나타내는 수
  • 유효숫자를 나타내는 가수와 수수점의 위치를 풀이하는 지수로 표현
  • 부호부 (Sign) : 1비트. 숫자의 부호를 나타내며, 양수일 때 0, 음수일 때 1
    
  • 지수부 (Exponent) :8비트. 지수를 나타냄
  • 가수부 (Mantissa) : 23비트. 가수 또는 유효숫자를 나타냄

32비트 단정도 (single precision) 부동소수점 표현.

 

로그

• 지수부분을 나타내기 위해 사용
• x = logₐb  (aˣ = b)
• a를 로그의 밑, b를 진수라고 표현
• 즉, x는 a를 b가 되게 하는 지수부의 값
• 밑인 a는 1이 아닌 양수로 제한한다.
• 진수인 b 역시 양수다.

로그의 성질

상용로그

• 밑이 10인 로그, 10진수를 다룰 때 사용
• 수의 자리수를 얻을 때 사용
• 1보다 큰 10진수에 상용로그를 취하여 올림하면 그 숫자의 자리수를 얻음
• 1보다 작은 수는 올림한 숫자만 큼 소수점 아래에 0이 이어짐

지수함수와 로그함수

지수함수

• f(x) = kaˣ (k≠0, a>0, a≠1)
• 밑인 a는 양수로 제한, a=1도 상수함수꼴이 되므로 제외
• 지수함수의 지수자리에는 어떤 실수 라도 올 수 있으므로 지수함수의 정의역은 모든 실수
• 밑a는 항상 양수이므로 지수 연산의 결과 aˣ 또한 항상 양수, 즉 치역은 0보다 큰 실수

지수함수의 그래프

로그함수

• 지수함수의 꼴에서 독립변수와 종속변수를 바꾸어 쓴 것
• f(x) = logₐx (a>0, a≠1)
• 지수함수와 역함수의 관계에 있으므로, 역함수의 성질에 따라 두 함수의 정의역과 치역 또한 반대가 됨

함수	정의역	치역
y = aˣ	x는 모든 실수	y > 0
y = logₐx	x > 0	y는 모든 실수

 

로그함수와 지수함수의 그래프

• 밑이 같은 지수함수와 로그함수는 역함수 관계이며, y=x 그래프에 대칭이다.

 

로그 스케일

• 어떤 값이 아주 큰 폭으로 변할 때 그 모양이 한눈에 들어오지 않으므로 해당 축의 눈금을 로그값으로 바꾼 로그 스케일 그래피를 흔히 사용

출처

• 해당 포스팅은 [수학리부트] 책을 참고하여 작성되었습니다.