[수학 리부트] 삼각함수

삼각함수

일반각과 호도법

• 일반각 : $(360^\circ \times n) + \theta (n \in Z) $
• 호도법 : 호의 길이로 각도를 표현하는 방법. 호도법으로 표현하는 각의 크기를 라디안(radian, 기호로 rad 라고 한다.)
  • 라디안 : 각에 대응하는 호의 길이를 원의 반지름으로 나눈 것.

  • 

  • $360^\circ = \frac{2πr}{r} = 2π (rad)$
• 라디안과 도 단위 사이에는 다음 관계가 성립한다
  • $180^\circ = π (rad)$
    => $1^\circ = \frac{π}{180} (rad)$
    => $1(rad) = \frac{180}{π} \approx 57.3^\circ$
• 호도법에서의 각의 크기 : $2nπ + \theta (n \in Z) $
• 각도법 대신 호도법을 쓰는 이유는 삼각함수 미분시 결과가 깔끔하게 나오게 하기 위함
• 따라서 앞으로 각도는 모두 호도법을 사용

삼각함수의 정의

• 우선 이전 포스팅에서 다루었던 삼각비를 호도법으로 나타내면 아래와 같음

• 

• 삼각비는 직각삼각형으로 정의했기에 0도 ~ 90도 사이의 각에대해서만 성립
• 따라서 삼각비를 함수 형태로 만들려면 각에 대한 제약을 먼저 풀어야함
• 사인함수 : $\sin \theta = \frac{x}{r}$
• 코사인함수 : $\cos \theta = \frac{y}{r}$
• 탄젠트함수 : $\tan \theta = \frac{y}{x} = \Large\frac{\frac{x}{r}}{\frac{y}{r}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \small(x \neq 0)$
  • 탄젠트는 사인대 코사인의 비와 같음
• 함수값의 역수
  • 시컨트(secant) : $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$
  • 코시컨트(cosecant) : $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$
  • 코탄젠트(cotangant) : $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$
• 사인/코사인/탄젠트 함수 및 시컨트/코시컨트/코탄젠트 함수를 통틀어 삼각함수라고 한다

삼각함수 간의 관계

• 위 삼각비 그림에서 선OP와 점 P에서 x축에 내린 점선, x축의 세변으로 이루어진 삼각형은 직각삼각형으로 피타고라스의 정리를 활용할 수 있음 (r=1일때 가정)
• $x^2 + y^2 = \overline{OP}^2 = 1$
  $\therefore \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$
• 위 관계식에서 양변을 $\cos^2\theta$로 나누면
• $1+ \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}$
  $\therefore 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
• 위 관계식에서 양변을 $\sin^2\theta$로 나누면
• $\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} + 1 = \frac{1}{\sin^2\theta}$
  $\therefore \cot^2\theta + 1 = \csc^2\theta$

일반각에 대한 삼각함수

• 각은 한바퀴 (2π)의 배수 (2nπ)만큼 돌면 다시 제자리이므로 모든 삼각함수는 $\theta$일 때와 $2nπ + \theta$ 일때의 함수값이 동일하다
  • $\cos(2nπ + \theta) = \cos \theta$
  • $\sin(2nπ + \theta) = \sin \theta$
  • $\tan(2nπ + \theta) = \tan \theta$
• 크기가 $\theta$인 각이 반바퀴 만 돈 경우 (π + $\theta$)
  • 원래있던 곳과는 원점에 대해 대칭인 위치로 이동
  • 좌표 P(x,y)에 대해 원점 대칭인 좌표는 P'(-x, -y)가 됨.
  • $\cos(π + \theta) = -x = -\cos \theta$
  • $\sin(π + \theta) = -y = -\sin \theta$
  • $\tan(π + \theta) = \frac{(-y)}{(-x)} = \tan \theta$
  • 원래각에서 π만큼 회전하면 cos와 sin은 부호값만 바뀌고 tan은 한바퀴는 물론 반바퀴를 회전해도 함수값이 동일함
• 각의 부호가 반대인 경우($-\theta$)
  • 좌표 P(x,y)에 대해 $-\theta$만큼 회전한 좌표는 P'(x, -y)가 됨.
  • $\cos(-\theta) = x = \cos \theta$
  • $\sin(-\theta) = -y = -\sin \theta$
  • $\tan(-\theta) = \frac{(-y)}{(x)} = -\tan \theta$
  • 이때 cos함수와 sin/tan함수의 결과가 다름.
  • 우함수(짝함수) : cos함수처럼 입력값이 부호에 상관없이 같은 출력값을 내는 함수 (f(-x) = f(x))
  • 기함수(홀함수) : sin이나 tan처럼 입력값의 부호가 바뀌면 출력값의 부호도 반대 (f(-x) = -f(x))
• 크기가 $\theta$인 각이 직각만큼만 돈 경우 (π + $\frac{π}{2}\theta$)
  • $\cos(\frac{π}{2} + \theta) = -y$
  • $\sin(\frac{π}{2} + \theta) = x$
  • y와 x는 각이 $\theta$일때 sin 및 cos 함숫값에 해당하므로 다음 관계가 성립
  • $\cos(\frac{π}{2} + \theta) = -\sin \theta$
  • $\sin(\frac{π}{2} + \theta) = \cos \theta$
  • $\theta$ 대신에 $-\theta$을 넣으면 다른 관계식을 얻을 수 있음
  • $\cos(\frac{π}{2} - \theta) = -\sin (-\theta) = \sin \theta $
  • $\sin(\frac{π}{2} - \theta) = \cos (-\theta) = \cos \theta$

삼각형의 코사인법칙

• 직각삼각형이 아닌 일반 삼각형에서의 법칙
• 피타고라스를 이용한 증명
  

  

• 삼각형 ACH에서 $\overline{AH} = b\sin C, \overline{CH} = b\cos C$
  또한 $\overline{BH} = \overline{BC} - \overline{CH} 이므로 \overline{BH} = a-b \cos C$
  

  

• 따라서 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립한다.
  $c^2 = (b \sin C)^2 + (a - b \cos C)^2 $
  $= b^2 \sin^2 C + a^2 - 2ab \cos C + b^2 \cos ^2 C$
  $= a^2 + b^2(\sin^2 C + \cos ^2 C) - 2ab \cos C$
  $(\sin^2 C + \cos ^2 C = 1 이므로) $
  $= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
• 아래 직각삼각형 ABH에서
  

  

  
  $\overline{AH} = b \sin C 이므로 $\overline{AH} 를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 (b \sin C)^2 이고, $\overline{BH} = a - b \cos C이므로 $
  $\overline{BH}를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 (a - b \cos C)^2 이다$

삼각함수의 덧셈정리

위 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점인 단위원을 그리고, x축과 이루는 양의 방향의 각이 각각 α, β(α≥β≥0)인 두 반지름 $\overline{OA} 와 \overline{OB}$ 를 고려하자

이는 삼각형 OAB를 형성하며,A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ) 이다.

∠AOB=α−β(α−β≥0) 에 대하여 코사인 법칙을 적용하면

$\overline{AB}^2 = \overline{OA} ^2 \overline{OB} ^2 - 2 \overline{OA} * \overline{OB} \cos (∠AOB)$
$ = 1^2 + 1^2 - 2_1*1 \cos(α−β)$
$ = 2 - 2 \cos (α−β)$

한편 좌표 사이의 공식에 의하여

위 두식은 같은데, 이를 정리한다면
$ 2 - 2 \cos (α−β) = 2 - 2(\cos α + \cos β + \sin α + \sin β$
또한 β에 (-β)를 대입하면
$\cos (α-(−β)) = \cos α \cos(−β) + \sin α \sin(−β)$
$= \cos (α−β) = \cos α \cos(β) - \sin α \sin β $

배각공식과 반각공식

배각공식

β=α인 경우 2배각에 대한 삼각함수의 값을 구할 수 있음 (α+ β= 2α 대입)

반각공식

배각의 공식을 이용하여 원 각의 반 배한 각의 삼각함수의 값을 얻을 수 있음

삼각함수 그래프

주기함수

• 코사인, 사인, 탄젠트 함수는 $/theta$ 일 때와 $(2nπ + \theta)$ 때와 함수값이 같음
  • 따라서 f(x + 2π) = f(x) 로 나타낼 수 있음
• 또한 탄젠트 함수는 $/theta$ 일 때와 $(nπ + \theta)$ 때와 함수값이 같음
  • 따라서 탄젠트 함수는 f(x + 2π) = f(x) 도 성립함
• 주기함수 : 어떤 함수 f(x)의 정의역에 속한 모든 x에 대해 어떤 P가 존재해서 f(x + P) = f(x) (P ≠ 0) 가 성립하는 경우
• 주기 : P의 값 중 가장 작은 양수
  • 코사인/사인함수의 주기 : 2π
  • 탄젠트함수의 주기 : π

삼각함수 그래프

• 삼각함수의 정의역과 치역은 아래와 같다.