독립 (Independence) 정의) $P(A \cap B) = P(A)P(B)$이 성립할 때, 사건 A와 B는 독립이다. 주의하기: 서로소(disjoint) 와 구별하기 – A와 B가 서로소인 사건이라면, A가 발생했을 때 B는 발생할 수 없다. (한편, A와 B가 독립이라면, 사건 A의 발생은 B의 발생여부에 대한 그 어떤 영향도 끼치지 않음) $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ $P(B \cap C) = P(B)P(C)$ $P(C \cap A) = P(C)P(A)$ $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ 가 모두 성립할 때, 사건 A, B, C는 독립이다. → 쌍으로 독립(pairwise independence)과 전체 독립 모두 확인해야 A, B, C의 독립을 ..

Non-naïve definition of probability 모든 경우의 확률이 각각 다른 경우 확률공간(Probability space) : S와 P로 구성 S : 표본공간 (어떤 사건 A는 S의 부분집합) P : 함수 (어떤 사건 A를 입력으로 하는 함수) 공리 아래 세 가지 공리로부터 대부분의 식을 유도할 수 있음 공집합에 대한 확률은 0이다 (불가능하기 때문에) $P(S) = 1P(ϕ)=0$ 전체 표본 공간의 확률(적어도 사건 A가 발생할 확률)은 1이다. P(S)=1 합사건의 확률은 모든 확률의 합과 같다. (A1, A2.... 가 모두 서로소 일 경우만) $P(\bigcup_{n=1} ^\infty A_n) = \displaystyle\sum_{n=1} ^\infty P(A_n)$ $A_i..

확률론의 활용영역 유전학, 물리학, 계랑경제학, 금융, 역사학, 정치 인문학, 사회과학계에서도 중요도와 활용이 늘어나고 있음 도박과 게임 - 통계에서 여러 번 연구된 주제이다(페르마, 파스칼) 인생 전반: (수학이 활실성에 대한 학문이라면,) 확률은 불확실성(uncertainty)을 계량화하는 것을 가능하게 해 준다. 확률의 기본 개념 표본공간(sample space): 시행에서 발생 가능한 모든 경우의 집합 사건(event): 표본공간의 부분집합 확률의 naïve 한 정의 $P(A) = \frac{(사건 A가 발생하는 경우의 수)}{(발생 가능한 모든 경우의 수)}$ 분모는 표본공간과 같음 두개의 동전을 던졌을 때 둘다 앞면이 나올 확률 : $P(A) = \frac{1}{4}$ 가정 : 모든 경우가 같..

명제 조건명제 : 말 그대로 어떤 조건이 충족되는지 여부 p(가정) -> q(결론) 로 표현 (p이면 q이다) 명제의 역 : 원래의 명제에서 가정과 결론을 바꾼 것 (q -> p) 명제의 이 : 명제의 부정 (~p -> ~q) 명제의 대우 : 명제에서 가정과 결론도 바꾸고 부정한 것 (~q -> ~p) 명제함수 : x에 대해 참,거짓이 대응되는 일종의 함수. 미지의 값을 인자로 두어 p(x), q(x) 같은 함수의 형태로 쓰기도 함. p(x) : 2ˣ < 10 (x ∈ N) 진리집합 : 전체집합의 원소 중 명제함수를 참으로 만드는 원소들의 집합 정의 : P = {x | x ∈ U, p(x)} 위의 경우 진리집합은 {1,2,3} (4이상은 거짓이 됨) 한정자 : 명제함수의 인자 범위 규정 ∀(for all..

거듭제곱근과 지수의 확장 지수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 거듭제곱근 : n 제곱하여 a가 되는 수를 a의 n제곱근이라 한다. a의 제곱근 중 양수인 것을 택하여 루트 기호를 써서 √ a 로 나타낸다. a의 n제급근 중 양수인 것, 양수가 없을 때는 음수를 택하여 ⁿ√ a 로 나타낸다. n이 짝수일 경우 a > 0 이면, 그래프와 y = a는 세로축을 중심으로 대칭되는 두곳에서 만남, 즉, 양수의 짝수 번 거듭제곱근은 2개가 존재 a = 0 이면, 그래프와 원점에서 만남 a 0 ⁿ√ a + ⁿ√ a, -..

삼각비 직각삼각형에서 내각의 크기에 따라 세 변의 비가 어떻게 정해지는지 나타낸 것 기준각 : 삼각비를 나타낼 때 기준이 되는 각 (ex. ∠A ) CF) 밑변 : 선AC, 높이 : 선BC 비 비의 값 비의 이름 표기법 높이 : 밑변 = a : c a / b 탄젠트 (tangent) tan θ 밑변 : 빗변 = b : c b / c 코사인 (ㅊosine) cos θ 높이 : 빗변 = a : c a / c 사인 (sine) sin θ 피타고라스 공식과 삼각비 빗변 OP는 길이가 1이므로 사인과 코사인의 값을 쉽게 얻을 수 있다. 여기서 피타고라스 정리를 적용해보면 탄센트는 아래와 같이 사인과 코사인을 활용해 나타낼 수 있다. 기준각에 따른 삼각비 1) 45도 삼각비 2) 30, 60도 삼각비 기준각에 따른..

다각형 다각형 : 여러개의 선분으로 만들어지는 평면 도형 대각선 : 꼭짓점끼리 연결된 선분 다각형의 성질 꼭지점이 N개인 도형의 대각선 개수는 n(n-3) / 2 이다. k개의 대각선에 의해 이 다각형은 (k+1) 개의 삼각형으로 분할 된다 N각형은 (N-3)개의 대각선에 의해 (N-2)개의 삼각형으로 분할 된다 따라서 N각형의 내각의 합은 (N-2) * 180도 이다. 다각형의 외각의 합 : 모든 다각형은 외각의 합이 360도 이다. N각형의 내각과 외각의 합을 다 더하면 N*180도 인데 N각형의 내각의 합은 (N-2)*180이므로 외각의 합은 180*N - 180*N + 360 = 360도 이다 사각형의 종류와 성질 사다리꼴 사각형에서 최소 한 쌍의 마주보는변(대변)이 평행하다는 조건이 주어진 도형..

선과 각 직선 : 어떤 두 점을 지나면서 양 끝으로 무한히 곧게 뻗어가는 선 반직선 : 두 점을 지나는 곧은 선이면서도 한쪽으로만 뻐어가는 경우. 시작점과 방향이 있으며 아래와 같이 쓴다 선분 : 두 점을 지나는 곧은 선이지만 두점 사이를 잇는 선 중점 : 선분에서 길이를 이등분하는 점 각 : 곧은 선 두개가 만났을 때 선 하나가 상대방에 대해 벌어진 정도, 각의 단위는 도(degree)를 주로 사용 평각 : 각을 이루는 두 직선이 완전히 반대 방향 (180도) 직각 : 평각의 절반 크기 (90도) 예각 : 직각보다 작은 각 둔각 : 직각보다 크고 평각보다 작은 각 맞꼭지각 : 두직선이 만날 때 한쪽만 각이 생기는 것이 아니라 정반대에도 생기는 한 쌍의 각 직교 : 두 직선이 만났는데 맞꼭지각이 90도인..

경우의 수 시행 : 반복가능한 어떤 행위 사건 : 시행의 결과가 나타나는 것 경우의 수 : 어떤 시행의 결과로 일어날 수 있는 모든 사건의 가짓수 합의 법칙 : 사건의 발생에 '또는'이라는 말이 포함되어 있으면 각 사건의 경우의 수를 모두 더하여 답을 구함 곱의 법칙 : 여러 사건이 동시에 발생하거나 잇달아서 발생할 경우, 각 사건의 경우의 수를 모두 곱하여 답을 구함 수형도 : 각 경우에 대해 나뭇가지처럼 선을 긋고거기에 다른 경우를 연결하여 나타낸 그림 n개 중에서 순서 없이 k개를 선택하는 경우의 수 = n개 중 k개를 순서대로 뽑는 경우의 수 / 뽑은 k개를 줄 세우는 경우의 수 확률 확률 : 어떤 사건이 일어날 가능성을 0과 1사이의 숫자로 나타낸 것, 백분율로 나타내기도 한다. -> 사건E가 ..

함수 함수 : 입력값의 집합과 출력값의 집합간에 맺어지는 일대일 관계 특정값 a가 입력되었을 때 대응되는 출력은 f(a)로 쓰고, 이것을 입력 a에 대한 함숫값이라고 부른다. 정의역 : 함수 f : X -> Y에서 입력값이 정의된 집합 X 공역(공변역) : 출력값이 속하도록 되어있는 집합 Y 치역 : 공역 안에서 정의역에 실제로 대응되는 값, 함수값이 이루는 집합 전사함수 : 공역 = 치역 인경우, 즉 공역 내의 모든 원소가 전부 빠짐없이 대응 단사함수 : 치역의 원소 하나에 둘 이상의 정의역 원소가 대응되는 일이 없는 경우 전단사함수 : 전사이면서 단사인 경우, 일대일대응이라고 함. 비둘기집 원리 : 정의역보다 공역의 원소 개수가 작을 때 그 함수는 단사일 수 없다. 일차함수와 그래프 일차함수 : 종속..